京都府立大2017数学入試問題 $\cos\frac{2n}{17}\pi$

[問題]　

$n$を0以上の整数とする．  $x_n=2\cos\frac{2n}{17}\pi$のとき以下の問いに答えよ．

(1)　 $s=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8$ とするとき， $x_1 ⁢(s +1) =2⁢s +2$ となることを示せ．

(2)　 $t=x_1+x_2+x_4+x_8$ とするとき， $t^2+ t-4= 0$ となることを示せ．

(3)　 $x_1 +x_4$ の値を求めよ．

[解答]

(1)　$\frac{2}{17}\pi=\theta$とおくと，$$s=2(\cos\theta+\cos2\theta+\dots+\cos8\theta)$$方程式 $z^{17}=1$ の解を $1,z_1,z_2,\dots ,z_{16}$ とおくと，$z_k=\cos k\theta+i\sin k\theta$ であり，下図の各点を表すので，

$$1+z_1+z_2+\dots +z_{16}=0$$実部をとると，

$$1+\cos\theta+\cos2\theta+\dots+\cos16\theta=0$$

$\cos (17-k)\theta=\cos k\theta$なので，

$$1+2(\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta) =0$$

$$\therefore 1+s=0$$

よって，左辺の$x_1$と右辺の$2$が他の何であろうと等式 $x_1 ⁢(s +1) =2⁢s +2$ は$=0$となって成り立つが，問題としては不適切ではないか．｢$s$の値を求めよ｣で良いと思われる．

 

(2)　途中，$x_k^2=4\cos^2{k\theta}=2\cos{2k\theta}+2=x_{2k}+2$ を利用する．

まず $t^2$ を計算すると，
$t^2=(x_1+x_2+x_4+x_8)^2$
$=x_1^2+x_2^2+x_4^2+x_8^2+2(x_1x_2+x_1x_4+x_1x_8+x_2x_4+x_2x_8+x_4x_8)$
$=x_2+2+x_4+2+x_8+2+x_{16}+2+2(x_3+x_1+x_5+x_3+x_9+x_7+x_6+x_2+x_{10}+x_6+x_{12}+x_4)$
$=x_2+2+x_4+2+x_8+2+x_1+2+2(x_3+x_1+x_5+x_3+x_8+x_7+x_6+x_2+x_7+x_6+x_5+x_4)$
$=(x_1+x_2+x_4+x_8)+8+2(x_1+x_2+x_4+x_8)+4(x_3+x_5+x_6+x_7)$
$=t+8+2t+4(s-t)$
$=4s-t+8$

よって，$t^2+ t-4=4s-t+8+t-4=4s+4=4(s+1)=0$

(3)　上図より$t>0$ なので，$t$ は $t^2+ t-4= 0$ の解の正の方であるから，$$t=\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}$$

$t$を $\alpha=x_1+x_4$，$\beta=x_2+x_8$ の2つに分け，その和と積から2次方程式を解いて$\alpha$の値を求める．

$\alpha+\beta=t$

$\alpha \beta=(x_1+x_4 )(x_2+x_8)$
$=x_1x_2+x_1x_8+x_4x_2+x_4 x_8$
$=x_3+x_1+x_9+x_7+x_6+x_2+x_{12}+x_4$
$=x_3+x_1+x_8+x_7+x_6+x_2+x_5+x_4$
$=-1$

解と係数の関係より，$\alpha, \beta$は２次方程式 $x^2-tx-1=0$ の解になるので，この方程式を解くと，
$$x=\dfrac{t\pm \sqrt{t^2+4}}{2}$$
上図より$\alpha>\beta$なので，
$$\alpha=x_1+x_4 =\dfrac{t+ \sqrt{t^2+4}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}$$