積分因子

次の1階線形常微分方程式の積分因子 $M(x)$ が $\exp \left( \int{P(x)}dx \right)$ である理由 $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\tag{1}$$ (1)の両辺に $M(x)$ を掛けると，$$M(x)\frac{dy}{dx}+M(x)P(x)y=M(x)Q(x)\tag{2}$$もし(2)を次の形にすることができれば以下のように微分方程式が解ける．$$M(x)\frac{dy}{dx}+M'(x)y=M(x)Q(x)\tag{3}$$$$\frac{d}{dx}(M(x)y)=M(x)Q(x)$$$$M(x)y=\int M(x)Q(x)dx$$$$y=\frac{\int M(x)Q(x)dx}{M(x)}\tag{微分方程式(1)の解}$$そのために以上のことができる積分因子 $M(x)$ を求めよう．(2)と(3)を比較して，

$$M'(x)=M(x)P(x)$$

$$\frac{dM}{dx}=M(x)P(x)$$

$$\int\frac{1}{M(x)}dM=\int P(x)dx$$

$$\ln{|M(x)|}=\int P(x)dx$$$$M(x)=\exp \left( \int P(x)dx \right)\tag{積分因子}$$

[簡単な例]　次の1階線形常微分方程式を解く

$$\frac{dy}{dx}+y=e^x$$

積分因子 $\exp \left( \int{1}dx \right)=\exp(x)=e^x$ を両辺に掛けると，

$$e^x\frac{dy}{dx}+e^xy=e^{2x}$$

$$\frac{d}{dx}(e^xy)=e^{2x}$$

$$e^xy=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C$$

$$y=\frac{1}{2}e^{x}+Ce^{-x}$$

IB Math Textbook

Oxford AA HL の訂正

P835

1 d ii)    $v_n+_1$ではなく，$v_{n+1}$

1 d iv)   $u_n=2^n-1$ではなく，$u_n=(u_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}-\frac{b}{a-1}$

1 e)    解答がない．$a=2, b=1, u_1=1$ を上式に代入すると，$u_n=2^n-1$ となることが確認できる．

P807

Exercise  8H 1 e)  $y=e^{-\frac{x^2}{2}} \left(\frac{1}{2} e^{x^2}+C\right)$ではなく，$y=e^{-\frac{x^2}{2}} \left(\frac{1}{3} e^{\frac{3}{2}x^2}+C\right)$ または $=\frac{1}{3} e^{x^2}+Ce^{-\frac{x^2}{2}}$

Hodder Education AA HL の訂正

p474

11 b ii)　-3,  16,  -65ではなく-113

P475

1 b  i)　グラフは単調増加

P476

c vi)　k<0 ではなく，k≦0

d)　0.1286ではなく，0.1283

GDC

PolyRoots,  cPolyRootsは，TI-Nspire CX に はあるが，TI-84 Plus CE にはない．TI-84 Plus CE では Numeric Solver (Equation  solver) を使うが実数解のみ．

Analize Graph => zero は複数あってもいちいちboundを決めて1つづつ求める．

複素数zのn乗根をすべて求めるときは，まず(1/n)乗して偏角θを求め，その後 2θ/n, 4θ/n, ......としていく (1周が2πなので)．

TI-Nspire CX IIで定義域（範囲）を指定してグラフを描くには，数式を入力した後，[ctrl] + [=] を押して「 | 」を選んで入れてから定義域を入力する．

Listに数列を入れるには，stat>edit>L1の最上で，list >ops>seq を使う

三項間漸化式

 $a_1=1$， $a_2=2$のとき，次の三項間漸化式を解く．$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$初期値を $a_0=1$， $a_1=1$として次の漸化式を解いても同様の結果を得られるので，計算簡素化のため，こちらを解くことにする．$$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\tag{0}$$ある実数$\alpha$と$\beta$を用いて(0)が次のように変形できれば，さらに下の(5)(6)のように変形できて漸化式が解けるので，$$a_{n+1}-\alpha a_n=\beta(a_n-\alpha a_{n-1})\tag{1}$$$$a_{n+1}-\beta a_n=\alpha(a_n-\beta a_{n-1})\tag{2}$$(1)と(2)をどちらも次式に変形し，$$a_{n+1}-(\alpha+\beta) a_n+\alpha\beta a_{n-1}=0\tag{3}$$(3)が(0)に一致することから係数比較すると，$\alpha+\beta=1$，$\alpha\beta=-1$ となるので，$\alpha$と$\beta$は次式 (特性方程式) の解であることがわかる．$$t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0\tag{4}$$$\alpha+\beta=1$ より $1-\alpha=\beta$，$1-\beta=\alpha$となるので，(1)と(2)は次のように変形できる．

$a_{n+1}-\alpha a_n=\beta(a_n-\alpha a_{n-1})=\dots=\beta^n(a_1-\alpha a_0)=\beta^n(1-\alpha)=\beta^{n+1}\tag{5}$

$a_{n+1}-\beta a_n=\alpha(a_n-\beta a_{n-1})=\dots=\alpha^n(a_1-\beta a_0)=\alpha^n(1-\beta)=\alpha^{n+1}\tag{6}$

(6)から(5)を引くと，$$(\alpha-\beta) a_n=\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}$$$$a_n=\frac{1}{\alpha-\beta}(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})$$(4)の解を求めて$\alpha$と$\beta$の値を代入すれば求める第n項を得る．$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right\}$$フィボナッチ数列の一般的な初期値 $a_0=0$， $a_1=1$なら第n項は次式になる．$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right\}\tag{ビネの公式}$$

百五減算のしくみ

百五減算とは，年齢$N$を3, 5, 7でそれぞれ割った余り$a, b, c$ から言い当てる方法で，具体的には，$70a+21b+15c$ から繰り返し105 (3, 5, 7のLCM) を引き，105未満になったらそれを$N$とする．

＜しくみ＞

以下，$a\equiv b \pmod n$は， ｢$a-b$ は $n$ の倍数である｣ ことを意味する．例えば，$17\equiv 2 \equiv {-1}\pmod 3$

$7\times5=35$，$7\times3=21$，$5\times3=15$なので，$N\equiv35a+21b+15c \pmod {105}$と予測できるが，$$35a+21b+15c\equiv 2a \pmod 3$$ $$35a+21b+15c\equiv b \pmod 5$$ $$35a+21b+15c\equiv c \pmod 7$$であり，ここで$a$は0, 1, 2のいずれかなので，$2a$は0, 2, 4のいずれかになり，これを3で割った余りは0, 2, 1のいずれかになるから，0以外は$a$と一致しない．従って，$$〇a+21b+15c\equiv a \pmod 3$$となるようにしたい．そのためには$a$の係数は35の倍数かつ$\equiv 1 \pmod 3$にしなければならないので，$$70a+21b+15c \pmod {105}$$とすれば良い．

例えば，$N$が$(a,b,c)=(1,2,3)$のとき，$$70\cdot1+21\cdot2+15\cdot3=157 \equiv 52 \pmod {105}$$言い換えると，3で割った余りが1で，5で割った余りが2で，7で割った余りが3となる105未満の数は52であることがわかる．

◇

＜7×15=105減算＞

年齢$N$を7, 15でそれぞれ割った余り$a, b$から言い当てることもできる．

$N\equiv15a+7b \pmod {105}$と予測できるが，$$15a+7b\equiv a \pmod 7$$ $$15a+7b\equiv 7b \pmod {15}$$であり，ここで$b$は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14のいずれかなので，$7b$は0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,  56, 63, 70, 77, 84, 91, 98のいずれかになり，これを15で割った余りは0, 7, 14, 6, 13, 5, 12, 4, 11, 3, 10, 2, 9, 1, 8のいずれかになるから，0, 5, 10以外は$b$と一致しない．従って，$$15a+〇b\equiv b \pmod {15}$$となるようにしたい．そのためには$b$の係数は7の倍数かつ$\equiv 1 \pmod {15}$にしなければならないので，$$15a+91b \pmod {105}$$とすれば良い．

例えば，$N$が$(a,b)=(3,7)$のとき，$$15\cdot3+91\cdot7=682 \equiv 52 \pmod {105}$$言い換えると，7で割った余りが3で，15で割った余りが7となる105未満の数は52であることがわかる．

◇

＜5×21=105＞でも同様にできるし，積が105でなくてもできる．さらには，互いに素な2数や3数でもできるが，積が小さい数だと年齢当てには不向き．

2次正方行列の積の可換条件

$A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)$，$B=\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)$とする．

$$AB=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\\\end{matrix}\right)$$ $$BA=\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\\\end{matrix}\right)$$

成分比較して，

$bg=cf$　…①　　$af+bh=be+df$　…②　　$ce+dg=ag+ch$　…③

①より　$\frac{b}{f}=\frac{c}{g} ⇔ b:c=f:g$　…④　

②より　$(a-d)f=(e-h)b ⇔ \frac{a-d}{e-h}=\frac{b}{f}$　…⑤

③より　$(a-d)g=(e-h)c ⇔ \frac{a-d}{e-h}=\frac{c}{g}$　…⑥

⑤⑥より　$\frac{a-d}{e-h}=\frac{b}{f}=\frac{c}{g} ⇔ \left(a-d\right):b:c=\left(e-h\right):f:g$

これは④も満たすので，可換になるための必要十分条件は $$\left(a-d\right):b:c=\left(e-h\right):f:g$$

正接定理でなく正弦定理で求める方法

小説 ｢écriture 新人作家・杉浦李奈の推論｣より

正接定理でなく正弦定理で求める方法

$\triangle OMS$において正弦定理より

$$\frac{r}{\sin(2r-\frac{x}{2})}=\frac{1}{\sin(2r+\frac{x}{2})}$$

$$r\sin\left(2r+\frac{x}{2}\right)=\sin\left(2r-\frac{x}{2}\right)$$

$$r\left(\sin2r\cos\frac{x}{2}+\cos2r\sin\frac{x}{2}\right)=\sin2r\cos\frac{x}{2}-\cos2r\sin\frac{x}{2}$$

$$(1+r)\cos2r\sin\frac{x}{2}=(1-r)\sin2r\cos\frac{x}{2}$$

$$\cos2r\sin\frac{x}{2}=\frac{1-r}{1+r}\sin2r\cos\frac{x}{2}$$

$$\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}=\frac{1-r}{1+r}\cdot\frac{\sin2r}{\cos2r}$$

$$\tan\frac{x}{2}=\frac{1-r}{1+r}\tan2r$$

$$\frac{x}{2}=\arctan \left( \frac{1-r}{1+r} \tan 2r \right)$$

$$\stackrel{\huge\frown}{BC}=x=2\arctan \left( \frac{1-r}{1+r} \tan 2r \right)$$

最小二乗法 回帰直線導出

最小二乗法とは，データ分布を最もよく表す関数 (回帰曲線) を求める方法で，具体的には実際のデータ $\{(x_i, y_i) | i=1, \cdots ,n \}$ と予測関数の値 $\{y_i=f(x_i) | i=1, \cdots ,n \}$ の差の二乗の総和 (残差平方和 Residual Sum of Squares)$$RSS=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \{y_i-(f(x_i )\}^2$$が最小になるような関数 $y=f(x)$ を求める方法です．

最も簡単な例として，回帰曲線が一次関数 $y=ax+b$ になる場合の$a$と$b$を求めてみます．この場合は，$$RSS=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \{y_i-(ax_i +b)\}^2$$の最小を考えることになります．

偏微分を使うのが簡単なのですが，高校までの知識なら平方完成を使います．他のサイトで紹介されている計算は複雑なものが多いのですが，残差の二乗の平均$$\frac{RSS}{n}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \{y_i-(ax_i +b)\}^2$$を計算することで，よりシンプルに求めることができます．ここで，$\overline{x}$ は $x$ の平均を表します．

\begin{eqnarray}
\frac{RSS}{n}&=&\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (y_i^2+a^2x_i ^2+b^2-2ax_iy_i+2abx_i-2by_i )\\&=&\overline{y^2}+a^2\overline{x^2}+b^2-2a\overline{xy}+2ab\overline{x}-2b\overline{y}\tag{1}\\&=&b^2+2(a\overline{x}-\overline{y})b+a^2\overline{x^2}-2a\overline{xy}+\overline{y^2}\\&=&\{b+(a\overline{x}-\overline{y})\}^2-(a\overline{x}-\overline{y})^2+a^2\overline{x^2}-2a\overline{xy}+\overline{y^2}\\&=&\{b+(a\overline{x}-\overline{y})\}^2-a^2\overline{x}^2+2a\overline{x}\cdot\overline{y}-\overline{y}^2+a^2\overline{x^2}-2a\overline{xy}+\overline{y^2}\\&=&\{b+(a\overline{x}-\overline{y})\}^2+\left(\overline{x^2}-\overline{x}^2\right)a^2+2(\overline{x}\cdot\overline{y}-\overline{xy})a+\overline{y^2}-\overline{y}^2
\end{eqnarray}

ここで，$\overline{x^2}-\overline{x}^2=s_x^2$ ($x$の分散)，$\overline{xy}-\overline{x}\cdot\overline{y}=s_{xy}$ ($x$と$y$の共分散) なので，

\begin{eqnarray}
\frac{RSS}{n}&=&\{b+(a\overline{x}-\overline{y})\}^2+s_x^2a^2-2s_{xy}a+s_y^2\\&=&\{b+(a\overline{x}-\overline{y})\}^2+s_x^2\left(a^2-2\frac{s_{xy}}{s_x^2}a\right)+s_y^2\\&=&\{b+(a\overline{x}-\overline{y})\}^2+s_x^2\left(a-\frac{s_{xy}}{s_x^2}\right)^2-\frac{s_{xy}^2}{s_x^2}+s_y^2
\end{eqnarray}

以上より，$a$と$b$が次の値のときに$\frac{RSS}{n}$の値が最小になる，すなわち$RSS$の値が最小になるということが分かりました．$$a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}，　b=\overline{y}-a\overline{x}$$ 因みに，$x$と$y$の相関係数は $r=\frac{s_{xy}}{s_x s_y}$ なので，$a=\frac{s_y}{s_x}r$ とも表すことができます．（2026年現在の高校数学Bの教科書ではこちらの方が書かれています）

◇

高校では未習ですが，式$(1)$を$a$，$b$で偏微分して$=0$とおいた2式を連立させれば，容易に上の解を得ることができます．

                                             $a$で偏微分　　$2a\overline{x^2}-2\overline{xy}+2b\overline{x}=0$

                                             $b$で偏微分　　$2b+2a\overline{x}-2\overline{y}=0\ $      

＜簡単な例＞

データ　$A (2, 3)，B (4, 7)，C (9, 11)$

$ \overline{x} = 5，\overline{y} = 7，s_x^2 = \frac{26}{3}，s_{xy}=\frac{ 28}{3}，a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}= \frac{14}{13}，b = \overline{y} - a \overline{x} = \frac{21}{13}$

回帰直線は　$ y = \frac{14}{13}x + \frac{21}{13}$

ロジスティック方程式

次の微分方程式 (k:比例定数，0<y<1) をロジスティック方程式といいます．$$\frac{dy}{dx}=ky(1-y)$$変数分離してこれを解くと$$\int\frac{1}{y(1-y)}dy=k \int dx$$

$$\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy=kx +C$$$$\ln y-\ln(1-y)=kx +C$$$$\frac{y}{1-y}=e^{kx+C}$$$$y=(1-y)e^{kx+C}$$$$y\left(e^{kx+C}+1\right)=e^{kx+C}$$$$y=\frac{e^{kx+C}}{e^{kx+C}+1}$$$$y=\frac{1}{1+e^{-(kx+C)}}$$$x$軸方向の拡大縮小を1倍，平行移動を0にすれば，ロジスティック関数の標準形になります．$$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

これを$x$軸方向に$k$倍，$y$軸方向$L$倍拡大縮小し，$x$軸方向に$p$，$y$軸方向$q$平行移動した式は次式になり，多くの自然現象，社会現象のモデル化に応用されています．$$y-q=\frac{L}{1+e^{-k(x-p)}}$$

[参考]

Logistic function
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function