百五減算とは，年齢$N$を3, 5, 7でそれぞれ割った余り$a, b, c$ から言い当てる方法で，具体的には，$70a+21b+15c$ から繰り返し105 (3, 5, 7のLCM) を引き，105未満になったらそれを$N$とする．
＜しくみ＞
以下，$a\equiv b \pmod n$は， ｢$a-b$ は $n$ の倍数である｣ ことを意味する．例えば，$17\equiv 2 \equiv {-1}\pmod 3$
$7\times5=35$，$7\times3=21$，$5\times3=15$なので，$N\equiv35a+21b+15c \pmod {105}$と予測できるが，$$35a+21b+15c\equiv 2a \pmod 3$$ $$35a+21b+15c\equiv b \pmod 5$$ $$35a+21b+15c\equiv c \pmod 7$$であり，ここで$a$は0, 1, 2のいずれかなので，$2a$は0, 2, 4のいずれかになり，これを3で割った余りは0, 2, 1のいずれかになるから，0以外は$a$と一致しない．従って，$$〇a+21b+15c\equiv a \pmod 3$$となるようにしたい．そのためには$a$の係数は35の倍数かつ$\equiv 1 \pmod 3$にしなければならないので，$$70a+21b+15c \pmod {105}$$とすれば良い．
例えば，$N$が$(a,b,c)=(1,2,3)$のとき，$$70\cdot1+21\cdot2+15\cdot3=157 \equiv 52 \pmod {105}$$言い換えると，3で割った余りが1で，5で割った余りが2で，7で割った余りが3となる105未満の数は52であることがわかる．
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＜7×15=105減算＞
年齢$N$を7, 15でそれぞれ割った余り$a, b$から言い当てることもできる．
$N\equiv15a+7b \pmod {105}$と予測できるが，$$15a+7b\equiv a \pmod 7$$ $$15a+7b\equiv 7b \pmod {15}$$であり，ここで$b$は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14のいずれかなので，$7b$は0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98のいずれかになり，これを15で割った余りは0, 7, 14, 6, 13, 5, 12, 4, 11, 3, 10, 2, 9, 1, 8のいずれかになるから，0, 5, 10以外は$b$と一致しない．従って，$$15a+〇b\equiv b \pmod {15}$$となるようにしたい．そのためには$b$の係数は7の倍数かつ$\equiv 1 \pmod {15}$にしなければならないので，$$15a+91b \pmod {105}$$とすれば良い．
例えば，$N$が$(a,b)=(3,7)$のとき，$$15\cdot3+91\cdot7=682 \equiv 52 \pmod {105}$$言い換えると，7で割った余りが3で，15で割った余りが7となる105未満の数は52であることがわかる．
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＜5×21=105＞でも同様にできるし，積が105でなくてもできる．さらには，互いに素な2数や3数でもできるが，積が小さい数だと年齢当てには不向き．
