2次正方行列の積の可換条件

$A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)$，$B=\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)$とする．

$$AB=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\\\end{matrix}\right)$$ $$BA=\left(\begin{matrix}e&f\\g&h\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\\\end{matrix}\right)$$

成分比較して，

$bg=cf$　…①　　$af+bh=be+df$　…②　　$ce+dg=ag+ch$　…③

①より　$\frac{b}{f}=\frac{c}{g} ⇔ b:c=f:g$　…④　

②より　$(a-d)f=(e-h)b ⇔ \frac{a-d}{e-h}=\frac{b}{f}$　…⑤

③より　$(a-d)g=(e-h)c ⇔ \frac{a-d}{e-h}=\frac{c}{g}$　…⑥

⑤⑥より　$\frac{a-d}{e-h}=\frac{b}{f}=\frac{c}{g} ⇔ \left(a-d\right):b:c=\left(e-h\right):f:g$

これは④も満たすので，可換になるための必要十分条件は $$\left(a-d\right):b:c=\left(e-h\right):f:g$$