次の1階線形常微分方程式の積分因子 $M(x)$ が $\exp \left( \int{P(x)}dx \right)$ である理由 $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\tag{1}$$ (1)の両辺に $M(x)$ を掛けると，$$M(x)\frac{dy}{dx}+M(x)P(x)y=M(x)Q(x)\tag{2}$$もし(2)を次の形にすることができれば以下のように微分方程式が解ける．$$M(x)\frac{dy}{dx}+M'(x)y=M(x)Q(x)\tag{3}$$$$\frac{d}{dx}(M(x)y)=M(x)Q(x)$$$$M(x)y=\int M(x)Q(x)dx$$$$y=\frac{\int M(x)Q(x)dx}{M(x)}\tag{微分方程式(1)の解}$$そのために以上のことができる積分因子 $M(x)$ を求めよう．(2)と(3)を比較して，
$$M'(x)=M(x)P(x)$$
$$\frac{dM}{dx}=M(x)P(x)$$
$$\int\frac{1}{M(x)}dM=\int P(x)dx$$
$$\ln{|M(x)|}=\int P(x)dx$$$$M(x)=\exp \left( \int P(x)dx \right)\tag{積分因子}$$
[簡単な例] 次の1階線形常微分方程式を解く
$$\frac{dy}{dx}+y=e^x$$
積分因子 $\exp \left( \int{1}dx \right)=\exp(x)=e^x$ を両辺に掛けると，
$$e^x\frac{dy}{dx}+e^xy=e^{2x}$$
$$\frac{d}{dx}(e^xy)=e^{2x}$$
$$e^xy=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C$$
$$y=\frac{1}{2}e^{x}+Ce^{-x}$$
