$f(1)=1$， $f(2)=2$のとき，次の三項間漸化式を解く．$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$$初期値を $f(0)=1$， $f(1)=1$として次の漸化式を解いても同様の結果を得られるので，計算簡素化のため，こちらを解くことにする．$$f(n+1)=f(n)+f(n-1)\tag{0}$$(0)が次のように変形できるなら，$$f(n+1)-\alpha f(n)=\beta\{(f(n)-\alpha f(n-1)\}\tag{1}$$$$f(n+1)-\beta f(n)=\alpha\{(f(n)-\beta f(n-1)\}\tag{2}$$(1)と(2)はどちらも次式に変形できる．$$f(n+1)-(\alpha+\beta) f(n)+\alpha\beta f(n-1)=0\tag{3}$$(0)と(3)は一致するので，$\alpha$と$\beta$は次式の解になる．$$t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0\tag{4}$$すると $\alpha+\beta=1$ であり，$1-\alpha=\beta$となるので，(1)と(2)は，$$f(n+1)-\alpha f(n)=\beta\{(f(n)-\alpha f(n-1)\}=\dots=\beta^n(1-\alpha)=\beta^{n+1}\tag{1}$$$$f(n+1)-\beta f(n)=\alpha\{(f(n)-\beta f(n-1)\}=\dots=\alpha^n(1-\beta)=\alpha^{n+1}\tag{2}$$(2)－(1)を計算すると，$$(\alpha-\beta) f(n)=\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}$$$$f(n)=\frac{1}{\alpha-\beta}(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})$$(3)の解を求めて値を代入すると，$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right\}$$フィボナッチ数列の一般的な初期値 $f(0)=0$， $f(1)=1$なら，$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right\}\tag{ビネの公式}$$
