IB Math Textbook

Oxford AA HL の訂正

P835

1 d ii)    $v_n+_1$ではなく，$v_{n+1}$

1 d iv)   $u_n=2^n-1$ではなく，$u_n=(u_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}-\frac{b}{a-1}$

1 e)    解答がない．$a=2, b=1, u_1=1$ を上式に代入すると，$u_n=2^n-1$ となることが確認できる．

P807

Exercise  8H 1 e)  $y=e^{-\frac{x^2}{2}} \left(\frac{1}{2} e^{x^2}+C\right)$ではなく，$y=e^{-\frac{x^2}{2}} \left(\frac{1}{3} e^{\frac{3}{2}x^2}+C\right)$ または $=\frac{1}{3} e^{x^2}+Ce^{-\frac{x^2}{2}}$

Oxford AI SL の訂正

P670

Paper 1   1 B)    V_0 の式は1500000ではなく，1000000なので，正解は175550.90

                        V_10=175550.90*(0.9)^10=61210.81

Hodder Education AA HL の訂正

p474

11 b ii)　-3,  16,  -65ではなく-113

P475

1 b  i)　グラフは単調増加

P476

c vi)　k<0 ではなく，k≦0

d)　0.1286ではなく，0.1283

GDC

PolyRoots,  cPolyRootsは，TI-Nspire CX に はあるが，TI-84 Plus CE にはない．TI-84 Plus CE では Numeric Solver (Equation  solver) を使うが実数解のみ．

Analize Graph => zero は複数あってもいちいちboundを決めて1つづつ求める．

複素数zのn乗根をすべて求めるときは，まず(1/n)乗して偏角θを求め，その後 2θ/n, 4θ/n, ......としていく (1周が2πなので)．

TI-Nspire CX IIで定義域（範囲）を指定してグラフを描くには，数式を入力した後，[ctrl] + [=] を押して「 | 」を選んで入れてから定義域を入力する．

Listに数列を入れるには，stat>edit>L1の最上で，list >ops>seq を使う

三項間漸化式

 $a_1=1$， $a_2=2$のとき，次の三項間漸化式を解く．$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$初期値を $a_0=1$， $a_1=1$として次の漸化式を解いても同様の結果を得られるので，計算簡素化のため，こちらを解くことにする．$$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\tag{0}$$ある実数$\alpha$と$\beta$を用いて(0)が次のように変形できれば，さらに下の(5)(6)のように変形できて漸化式が解けるので，$$a_{n+1}-\alpha a_n=\beta(a_n-\alpha a_{n-1})\tag{1}$$$$a_{n+1}-\beta a_n=\alpha(a_n-\beta a_{n-1})\tag{2}$$(1)と(2)をどちらも次式に変形し，$$a_{n+1}-(\alpha+\beta) a_n+\alpha\beta a_{n-1}=0\tag{3}$$(3)が(0)に一致することから係数比較すると，$\alpha+\beta=1$，$\alpha\beta=-1$ となるので，$\alpha$と$\beta$は次式 (特性方程式) の解であることがわかる．$$t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0\tag{4}$$$\alpha+\beta=1$ より $1-\alpha=\beta$，$1-\beta=\alpha$となるので，(1)と(2)は次のように変形できる．

$a_{n+1}-\alpha a_n=\beta(a_n-\alpha a_{n-1})=\dots=\beta^n(a_1-\alpha a_0)=\beta^n(1-\alpha)=\beta^{n+1}\tag{5}$

$a_{n+1}-\beta a_n=\alpha(a_n-\beta a_{n-1})=\dots=\alpha^n(a_1-\beta a_0)=\alpha^n(1-\beta)=\alpha^{n+1}\tag{6}$

(6)から(5)を引くと，$$(\alpha-\beta) a_n=\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}$$$$a_n=\frac{1}{\alpha-\beta}(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})$$(4)の解を求めて$\alpha$と$\beta$の値を代入すれば求める第n項を得る．$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right\}$$フィボナッチ数列の一般的な初期値 $a_0=0$， $a_1=1$なら第n項は次式になる．$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right\}\tag{ビネの公式}$$