次の微分方程式 (k:比例定数，0<y<1) をロジスティック方程式といいます．$$\frac{dy}{dx}=ky(1-y)$$変数分離してこれを解くと$$\int\frac{1}{y(1-y)}dy=k \int dx$$
$$\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy=kx +C$$$$\ln y-\ln(1-y)=kx +C$$$$\frac{y}{1-y}=e^{kx+C}$$$$y=(1-y)e^{kx+C}$$$$y\left(e^{kx+C}+1\right)=e^{kx+C}$$$$y=\frac{e^{kx+C}}{e^{kx+C}+1}$$$$y=\frac{1}{1+e^{-(kx+C)}}$$$x$軸方向の拡大縮小を1倍，平行移動を0にすれば，ロジスティック関数の標準形になります．$$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
これを$x$軸方向に$k$倍，$y$軸方向$L$倍拡大縮小し，$x$軸方向に$p$，$y$軸方向$q$平行移動した式は次式になり，多くの自然現象，社会現象のモデル化に応用されています．$$y-q=\frac{L}{1+e^{-k(x-p)}}$$
[参考]
Logistic function
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
